Olympiad 30-4

Bài toán:   Chứng minh rằng với các số thực $a,b,c\in [1,2]$ ta có bất đẳng thức:
$$(a+b+c)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\le 10$$

 Lời giải:  Ta có BĐT tương đương với:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le 7$$
Không mất tính tổng quát ta giải sử $ a\ge b\ge c$. Khi đó:
$$(a-b)(b-c)\ge 0  \iff ab+bc\ge b^2+ac\iff \dfrac{a}{c}+1\ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} \\ ab+bc\ge b^2+ac\iff \dfrac{c}{a}+1\ge \dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a} $$
Do đó:
$$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}\le \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+2 \\ \implies \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\le 2+2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$$
Đặt $x=\dfrac{a}{c}$ ta có $1\le x\le 2\implies (x-2)(x-1)\le 0\implies x+\dfrac{1}{x}\le \dfrac{5}{2}$
Từ đó suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=2,c=1$ hoặc $a=2;b=c=1$ hoặc các hoán vị tương ứng của chúng. $\blacksquare$