Bất đẳng thức

Bài toán: Với mọi $x,y,z>0$.Chứng minh:
$\sqrt {{x^2} + xy + {y^2}}  + \sqrt {{y^2} + yz + {z^2}}  + \sqrt {{z^2} + zx + {x^2}}  \ge \sqrt 3 (x + y + z)$
Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge \dfrac{{{(x+y)}^{2}}}{2}$, ta có
$$2\sqrt{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}=\sqrt{2{{(x+y)}^{2}}+2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}\ge \sqrt{2{{(x+y)}^{2}}+{{(x+y)}^{2}}}=\sqrt{3}(x+y)$$
Tương tự,
$$2\sqrt{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}\ge \sqrt{3}(y+z) \\ 2\sqrt{{{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}}}\ge \sqrt{3}(z+x)$$
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên thu được điều cần chứng minh