Bài toán. Giải phương trình $$\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {2x + 7}  - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 14{x^2} - 2x + 22$$

Giải. Điều kiện: $x \ge 1$.

Ta nhẩm được nghiệm $x = 1$nên nghĩ tới trục căn thức, nên thêm vào hai vế của phương trình đại lượng $ - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)$ ta được:

$$\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {2x + 7}  - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 14{x^2} - 2x + 22 - 3\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\left( {\sqrt {2x + 7}  - 3} \right) - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = 2{x^3} + 5{x^2} - 8x + 1$$
$$ \Leftrightarrow \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)}}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} - \left( {3{x^2} - 7x + 26} \right)\sqrt {x - 1}  = \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 1} \right) \\ \iff x=1$$

Do:
$$\dfrac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {2x + 7}  + 3}} \le \frac{{2\left( {3{x^2} + 2x + 7} \right)\sqrt {x - 1} }}{{3 + 3}} = \left( {{x^2} + \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}} \right)\sqrt {x - 1}  \le \left( {2{x^2} + 7x - 1} \right)\sqrt {x - 1} ,\forall x \ge 1$$
và $3{x^2} - 7x + 26 > 0,\forall x \ge 1$. Do đó phương trình vô nghiệm.

Do vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.