Bài toán: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1 + \sqrt[]{1 + x^2}}{x} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + y^2}}{y} + \dfrac{1 + \sqrt[]{1 + z^2}}{z} \le xyz$$
Lời giải: Theo giả thiết tồn tại ba góc nhọn của một tam giác thỏa mãn $x = \tan A;y = \tan B;z = \tan C$.
Ta có $$\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \dfrac{{1 + \sqrt {1 + {{\tan }^2}A} }}{{\tan A}} = \dfrac{{1 + \dfrac{1}{{\cos A}}}}{{\dfrac{{\sin A}}{{\cos A}}}} = \dfrac{{\cos A + 1}}{{\sin A}} = c{\rm{ot}}\frac{A}{2}$$
Tương tự ta có
$$\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} = \cot \dfrac{B}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {1 + {z^2}} }}{z} = \cot \dfrac{C}{2}$$
Khi đó $$VT = \cot \dfrac{A}{2} + \cot \dfrac{B}{2} + \cot \dfrac{C}{2} \le 3\sqrt 3  \le \tan A.\tan B.\tan C = VP$$.
Bất đẳng thức được chứng minh.