Bài toán:   Tìm các số nguyên x,y thoả mãn:
$$10x^2+20y^2+24xy+8x-24y+51<0$$

Lời giải:   $$\begin{aligned} pt & \iff 100x^2+200y^2+240xy+80x-240y+510<0 \\ & \iff (10x)^2+ 2 \cdot (10x) \cdot (12y+4)+ (144y^2+96y+16)+56y^2-336y++494<0 \\ & \iff (10x+12y+4)^2+56(y-3)^2-10<0 \\ & \iff (10x+12y+4)^2+56(y-3)^2<10 \end{aligned}$$
Dễ thấy $56(y-3)^2 \ \vdots 56$ với mọi $y \in \mathbb{Z}$. Do đó $y=3$. Nên $(10x+40)^2<10 \iff 10(x+4)^2<1$. Hiển nhiên $x=-4$. 
Vậy $$\boxed{x=-4,y=3}.$$