Bài toán:  Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( b^{2}-c^{2} \right )\left ( c^{2}-a^{2} \right )\leq \dfrac{729\sqrt{3}}{8}$


Giải: Ta có: $(a^3+b^3+c^3)(a+b)(b+c)(c+a)\leq\dfrac{\left[a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\right]^2}{12}=\dfrac{(a+b+c)^6}{12}$
Lại có:$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\leq b^2c^2(b-c)^2\leq \dfrac{(b+c)^6}{108}\leq \dfrac{(a+b+c)^6}{108}$
(giả sử $a\leq b \leq c$)
Suy ra : $P\leq \dfrac{(a+b+c)^9}{12\sqrt{108}}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=0, b=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}, c=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$