Bài toán:  Chứng minh rằng với mọi a;b;c dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$ thì:
$$2(x^3+y^3+z^3) \geq 6xyz+9.\min \left\{(x-y)^2;(y-z)^2;(z-x)^2\right\}$$

Giải:  Ta sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn là:
$$2(x^3+y^3+z^3)\ge 6xyz+3\left[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right]\\ \Leftrightarrow x^3+y^3+z^3\ge 3xyz+3(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\ (*)$$
Thật vậy: Đặt $p=x+y+z;q=xy+yz+zx=3;r=xyz$ thì:
$$(*)\Leftrightarrow p^3-3pq+3r\ge 3r+3(p^2-3q)\\ \Leftrightarrow p^3-9p-3p^2+27\ge 0\\ \Leftrightarrow (p+3)(p-3)^2\ge 0$$
Hiển nhiên đúng. Dấu bằng xảy ra khi $p=q=3\Leftrightarrow x=y=z=1$
Vậy BĐT ban đầu được c/m hoàn toàn. $\square$