Bài toán: Khẳng định hay phủ định bât đẳng thức sau .
Cho $a,b,c,d>0$ . Chứng minh rằng $$ \frac{a}{2b+3c+5d}+\frac{b}{2c+3d+5a}+\frac{c}{2d+3a+5b}+\frac{d}{2a+3b+5c}\geq \frac{2}{5} $$
Giải:   Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có
 $$ \begin{aligned} \ & \dfrac{a}{2b+3c+5d}+\frac{b}{2c+3d+5a}+\frac{c}{2d+3a+5b}+\frac{d}{2a+3b+5c} \\ & \geq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{7(ab+bc+cd+da)+6(ac+bd)} \\ & =\dfrac{2}{5}+\dfrac{2(a-b)^2+2(b-c)^2+2(c-d)^2+2(d-a)^2+(a-c)^2+(b-d)^2}{5\left[7(ab+bc+cd+da)+6(ac+bd)\right]} \geq \frac{2}{5}. \end{aligned}$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d.$