Bài toán:  Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thỏa mãn $ a+b+c=3$ thì $$\dfrac{a^2b}{2a+b} + \dfrac{b^2c}{2b+c} + \dfrac{c^2a}{2c+a} \le \dfrac32$$

Lời giải: Ta sẽ chứng minh:
 $$ \dfrac{a^2b}{2a + b} + \dfrac{b^2c}{2b + c} + \dfrac{c^2a}{2c + a} \le 1.$$ Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$: $$\dfrac{{{a}^{2}}b}{2a+b}={{a}^{2}}b.\dfrac{1}{a+a+b}\le {{a}^{2}}b.\dfrac{1}{9}\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)=\dfrac{2ab+{{a}^{2}}}{9}.$$ Tương tự ta có: $$\dfrac{b^2c}{2b + c} \le \dfrac{2bc+{{b}^{2}}}{9}\dfrac{c^2a}{2c + a} \le \dfrac{2ca+{{c}^{2}}}{9}$$
Cộng vế theo vế:  $$\dfrac{{{a}^{2}}b}{2a+b}+\dfrac{b^2c}{2b+c}+\dfrac{{{c}^{2}}a}{2c+a}\le \dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca}{9}=\dfrac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{9}=1.$$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.\blacksquare $