Phương trình vô tỷ

Đề bài: Giải phương trình: $2x + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (x + 1)\sqrt{x^2 + 2x + 3} = 0$

Bài làm:
$$pt\Longleftrightarrow 2x+1+x\sqrt{x^2+2}+x\sqrt{x^2+2x+3}+\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow (2x+1)+(x\sqrt{x^2+2}+\dfrac{3}{4})+(x\sqrt{x^2+2x+3}+\dfrac{3}{4})+(\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{2})=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1+\dfrac{x^4+2x^2-\dfrac{9}{16}}{x\sqrt{x^2+2}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{x^4+2x^3+3x^2-\dfrac{9}{16}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{x^2+2x+\dfrac{3}{4}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\dfrac{3}{2}}=0$$
$$\Longleftrightarrow 2x+1\dfrac{(x^2-\dfrac{1}{4})(x^2+\dfrac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{(x+\dfrac{1}{2})(x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{9}{8})}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{(x+\dfrac{1}{2})(x+\dfrac{3}{2})}{\sqrt{x^2+2x+3}+\dfrac{3}{2}}=0$$
$$\Longleftrightarrow \left(x+\dfrac{1}{2}\right) \left[2+\dfrac{(x-\dfrac{1}{2})(x^2+\dfrac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{x+\dfrac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\dfrac{3}{2}}\right]=0$$
Đến đây ta biện luận như sau :
Phương trình đã cho ban đầu :
$$2x+1+x\sqrt{x^2+2}+(x+1)\sqrt{x^2+2x+3}=0$$
$$\Longleftrightarrow (x+1)(1+\sqrt{x^2+2x+3})+x(1+\sqrt{x^2+2})=0$$
$\Longrightarrow$ Với x lớn hơn hoặc bằng 0 hoặc x bé hơn hoặc bằng -1 phương trình vô nghiệm. Do đó $x \in (-1;0)$
$\ast \  x \in (-1;0) \Longrightarrow \begin{cases}x-\dfrac{1}{2}<0\\x\sqrt{x^2+2}-\dfrac{3}{4}<0\end{cases} \Longrightarrow \dfrac{(x-\dfrac{1}{2})(x^2+\dfrac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\dfrac{3}{4}}>0$

$\ast \ x \in (-1;0) \Longrightarrow x+\dfrac{3}{2} >0 \Longrightarrow \dfrac{x+\dfrac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\dfrac{3}{2}} >0$

Đặt $f(x)=x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{9}{8} , x \in (-1;0)$
$f'(x)=3x^2+3x+\dfrac{9}{4} >0\Longrightarrow$ hàm đồng biến trên R
mà $f(0)=\dfrac{-9}{8} < 0$ nên $\Longrightarrow x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{9}{8} < 0 ; \ x \in (-1;0)$
Đồng thời $\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{4}<0 (cmt)$
$$\Longrightarrow \dfrac{x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{4}} >0$$
Từ đây suy ra ta có :
$$\dfrac{(x-\dfrac{1}{2})(x^2+\dfrac{9}{4})}{x\sqrt{x^2+2}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{x^3+\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x-\dfrac{9}{8}}{x\sqrt{x^2+2x+3}-\dfrac{3}{4}}+\dfrac{x+\dfrac{3}{2}}{\sqrt{x^2+2x+3}+\dfrac{3}{2}} > 0$$

Vậy $\boxed{x=\dfrac{-1}{2}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.