Đề thi MSS trận 3

Đề bài: Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D,E,F$ trên $BC, CA, AB$ sao cho $\triangle DEF$ nhọn và $AD, BE, CF$ đồng quy. $M, N, P$ trên $EF, FD, DE$ sao cho $\triangle MNP$ nhọn và $DM, EN, FP$ đồng quy.
Chứng minh rằng: $AM, BN, CP$ cũng đồng quy.

Bài làm:

Đầu tiên ta có bổ đề (*) : ( Định lý Ceva)

Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. ĐỊnh lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi: $\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Chứng minh:

Giả sử $AD; \ BE ; \ CF$ đồng quy tại 1 điểm $O$ nào đó ( nằm trong hoặc ngoài tam giác).

Ta có: $\Delta BOD$ và $\Delta COD$ có chung chiều cao $\implies \dfrac{|\Delta BOD|}{|\Delta COD|}=\dfrac{BD}{DC}$

Tương tự $\dfrac{|\Delta BAD|}{|\Delta CAD|}=\dfrac{BD}{DC}$

Ta suy ra: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{|\Delta BAD|-|\Delta BOD|}{|\Delta CAD|-|\Delta COD|}=\dfrac{|\Delta ABO|}{|\Delta CAO|}$

Tương tự: $\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{|\Delta BCO|}{|\Delta ABO|}$ và $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{|\Delta CAO|}{|\Delta BCO|}$

Nhân 3 đẳng thức trên ta được: $\dfrac{AF}{FB}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Ngược lại , giả sử Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm $D, E$ và $F$ thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của $AD$ và $BE$ là $O$, và gọi giao điểm của $CO$ và $AB$ là $F'$. Theo chứng minh trên $\dfrac{AF'}{F'B}.\dfrac{BD}{DC}.\dfrac{CE}{EA}=1$

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: $\dfrac{AF'}{F'B}=\dfrac{AF}{FB}$

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng $AF''+F''B=AF+FB=AB$, ta có $\frac{AB}{F'B}=\frac{AB}{FB}$

Do đó $F''B=FB$, vậy $F$ và $F''$ trùng nhau. Vì vậy $AD,BE$ và $CF=CF''$ đồng qui tại $O$, và định lí đã được chứng minh đúng theo cả hai chiều.

Trở về bài toán:

$AM$ cắt $BC$ tại $K$, $BN$ cắt $AC$ tại $J$, $CP$ cắt $AB$ tại H.

Kẻ $EI//FL//BC$ ( $F,I\in AK$) thì ta có : $\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{FL}{BK} \ ; \ \dfrac{AE}{AC}=\dfrac{EI}{CK} \ ; \ \dfrac{EI}{FL}=\dfrac{EM}{FM}$

Nhân 3 đẳng thức trên ta có: $\dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{FM}{EM}=\dfrac{BK}{FL}.\dfrac{EI}{CK}.\dfrac{FL}{EI}\implies \dfrac{BK}{CK}= \dfrac{FM}{EM} .\dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AE}{AC} \ \ (1)$

Tượng tự ta cũng có: $\dfrac{CJ}{AJ}=\dfrac{DN}{FN}.\dfrac{BC}{BD}.\dfrac{BF}{AB} \ \ (2)$ và $\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{EP}{DP}.\frac{AC}{EC}.\frac{CD}{BC} \ \ \ (3)$

Nhân các vế của $(1);(2);(3)$ ta được:

$\dfrac{BK}{CK}.\dfrac{CJ}{AJ}.\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AE}{AC}.\dfrac{FM}{EM}.\dfrac{DN}{FN}.\dfrac{BC}{BD}.\dfrac{BF}{AB}.\dfrac{EP}{DP}.\dfrac{AC}{EC}.\dfrac{CD}{BC} \\ \implies \dfrac{BK}{CK}.\dfrac{CJ}{AJ}.\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{FM}{EM}.\dfrac{EP}{DP}.\dfrac{DN}{FN}.\dfrac{DC}{BD}.\dfrac{BF}{AF}.\dfrac{AE}{CE} \ \ (\star)$

Áp dụng bổ đề (*) cho $\Delta ABD$ có $AD, CE, CF$ đồng quy và $\Delta DEF$ có $DM,EN,FP$ đồng quy ta có:

$\dfrac{FM}{EM}.\dfrac{EP}{DP}.\dfrac{DN}{FN}=1$ và $\dfrac{DC}{BD}.\dfrac{BF}{AF}.\dfrac{AE}{CE}=1$

Thay vào $(\star)$ : $\implies \dfrac{BK}{CK}.\dfrac{CJ}{AJ}.\dfrac{AH}{BH}=1$

Theo bổ đề (*) thì ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$