Câu BĐT Đề thi THPT chuyên KHTN lần 2 năm 2009

Đề bài: Cho $x;y;z$ thỏa mãn $0\le x;y;z\le 2$  và $x+y+z=3$ . Tìm min và max của biểu thức sau: $$M=x^4+y^4+z^4+12(1−x)(1−y)(1−z)$$
Bài làm:
Đặt $a=x-1 \ ; \ b=y-1 \ ; \ c=z-1$ ta có: $-1\le a,b,c\le 1$ và $a+b=c=0$
Khi đó $M=(a+1)^4+(b+1)^4+(c+1)^4-12abc$
$=a^4+b^4+c^4+4(a^3+b^3+c^3)+6(a^2+b^2+c^2)+4(a+b+c)+3-12abc$
Vì $a+b+c=0\implies a^3+b^3+c^3-3abc=0$ . Do đó:
$$M=a^4+b^4+c^4+6(a^2+b^2+c^2)+3\ge 3$$
Dấu bằng xảy ra $\iff a=b=c=0\iff x=y=z=1$
Mặt khác ta có: $-1\le a,b,c\le 1\implies |a| \ ; \ |b| \ ; \ |c| \le 1$ suy ra:
$$M\le 7(|a|+|b|+|c|)+3$$
Ta lại có: $a+b+c=0$ nên ta giả sử $bc\ge 0$ thì $|b|+|c|=|b+c|=|a|$ nên:
$$M\le 7(|a|+|b|+|c|)+3=14|a|+3\le 17$$
Dấu bằng xảy ra $\iff a=1;b=-1;c=0$ và các hoán vị$.\blacksquare$