Đề: Cho a là số thực dương. Giải và biện luận:
$$\dfrac{x^3-2x}{x^2-1-\sqrt{x^2-1}}=a$$

Bài làm:  DK: $x^2>1; \ x^2\neq 2$
Ta có: $pt\iff \dfrac{1}{a} =\dfrac{x^2-1-\sqrt{x^2-1}}{x^3-2x}=\dfrac{x^2-(\sqrt{x^2-1}+1)}{x(x^2-2)}\\ \iff \dfrac{1}{a}= \dfrac{x^2}{x(x^2-2)}-\dfrac{x^2-2}{x(x^2-2)(\sqrt{x^2-1}-1)}\\ \iff \dfrac{1}{a}=\dfrac{x}{x^2-2}-\dfrac{1}{x(\sqrt{x^2-1}-1)}$

Đặt $\sqrt{x^2-1}=t, \ t> 0, \ t \neq 1 \implies x=\sqrt{t^2+1}$

$\implies  \dfrac{1}{a}=\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t^2-1}-\dfrac{1}{(t-1)\sqrt{t^2+1}} \\ \iff \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{t-1}\left(\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t+1}-\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}\right) \\ \iff \dfrac{1}{a}=\dfrac{t^2-t}{(t^2-1)\sqrt{t^2+1}}=\dfrac{t}{(t+1)\sqrt{t^2+1}}\\  \implies  a=\dfrac{(t+1)\sqrt{t^2+1}}{t}=\sqrt{t^2+1}+\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t}=f(t)$
Có : $f'(t)=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}-\dfrac{1}{t^2\sqrt{t^2+1}}=0 \iff t=1$ (loại)
Vẽ bảng biến thiên ta được : $a\in (2\sqrt{2};+\infty).$